【前置知识】散度、梯度、旋度及其衍生 |
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在CFD理论研究中,以下的算符是不得不品的基础。下文整理在笛卡尔坐标系下,散度、梯度、旋度等一系列物理量。 目录 倒三角算符 一阶 梯度 散度 旋度 二阶 梯度的散度 编辑 拉普拉斯算符 散度的梯度 爱因斯坦求和约定 倒三角算符倒三角算符,称为nabla,哈密顿算子,又可称为del。 表现形式见下式 在向量微积分中用作三个不同的微分算子的一部分:梯度 (∇)、散度 (∇⋅) 和旋度(∇×)。 梯度表示表示某标量在空间某一位置沿某一方向的变化率。 在表现形式上是倒三角算符乘一个标量,得到一个新的矢量。 散度表征场的有源性。 在表现形式上是倒三角算符点乘一个矢量,得到的结果是一个标量 旋度在表现形式上为倒三角算符叉乘一个矢量,得到的结果是一个矢量 在上述三度的基础上,可以进一步进行处理。比如散度的梯度、梯度的散度等等 其实它们的二阶形式一共有5种,下文对两个易于混淆的进行解释: 梯度的散度一个标量通过梯度计算,结果是一个矢量,可进行散度计算,最终仍得到一个标量。 这个是最重要也是最常见的。 ![]() 上述计算过程可引入拉普拉斯算符进行简化: 在Mathematical Methods for Physicists(7th Ed)中对此做出了解释:拉普拉斯算子对于标量的结果是标量。然而,有时候会有人用拉普拉斯算子求向量,此时相对于对该矢量的三个分量分别使用拉普拉斯算子。 例如N-S方程中的就有对矢量应用的例子 一个矢量经过散度计算,结果是一个标量,仍可进行梯度计算,最终得到一个矢量。在物理问题中很少出现。此处写出是为了防止和拉普拉斯算子混淆。 事实上,散度的梯度如下: 所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号。在此规则中两个相同指标就表示求和,而不管指标是什么字母,有时亦称求和的指标为“哑指标”。 在同一项中,如果同一指标(如上式中的i)成对出现,就表示遍历其取值范围和。这时求和符号可以省略,在N-S方程表示中常常用到。 例如下式,i的取值范围在1~3,此时表示的是不可压缩流体的连续性方程: |
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